Exemplo Da Formula Do Termo Geral De Uma P.Q – 3 Exemplos da Fórmula do Termo Geral de uma P.G: embarque numa jornada fascinante pelo mundo das progressões geométricas! Prepare-se para desvendar os mistérios por trás dessa sequência numérica tão especial, onde cada termo revela uma dança elegante entre o primeiro termo e a razão. Desvendaremos, através de exemplos concretos, a magia da fórmula que governa este universo matemático, revelando seus segredos e sua surpreendente utilidade no mundo real.
Acompanhe-nos nesta aventura e veja como a fórmula do termo geral de uma P.G. se transforma de uma equação abstrata em uma poderosa ferramenta para resolver problemas intrigantes.
Nesta exploração, analisaremos três progressões geométricas distintas, cada uma com seu próprio conjunto único de valores para o primeiro termo (a1) e a razão (q). Observando cuidadosamente o comportamento de cada progressão, compreenderemos como a razão influencia o crescimento ou decrescimento da sequência. Com cálculos passo a passo, desmistificaremos a aplicação da fórmula an = a1
– q^(n-1), revelando a beleza e a elegância da matemática em ação.
Prepare-se para se maravilhar com a simplicidade e a potência desta ferramenta matemática.
Progressão Geométrica (P.G.): 3 Exemplo Da Formula Do Termo Geral De Uma P.Q
Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão (q). Os elementos principais de uma P.G. são o primeiro termo (a 1) e a razão (q). A fórmula do termo geral de uma P.G. permite calcular qualquer termo da sequência sem a necessidade de calcular todos os termos anteriores.
Fórmula do Termo Geral de uma P.G.
A fórmula do termo geral de uma P.G. é dada por: an = a 1, onde:
- q (n-1)
- a n representa o n-ésimo termo da progressão;
- a 1 representa o primeiro termo da progressão;
- q representa a razão da progressão;
- n representa a posição do termo na sequência.
A razão (q) é fundamental na definição da P.G., pois determina o comportamento da sequência. Se q > 1, a P.G. é crescente; se 0 < q < 1, a P.G. é decrescente; se q = 1, a P.G. é constante; e se q < 0, a P.G.
é alternada (os termos alternam entre positivos e negativos).
Exemplos da Fórmula do Termo Geral
A seguir, três exemplos ilustram o cálculo do 5º termo (a 5) de diferentes progressões geométricas, utilizando a fórmula do termo geral.
| Exemplo | a1 | q | a5 (n=5) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 162 (2
|
| 2 | 5 | 2 | 80 (5
|
| 3 | 10 | 0.5 | 0.625 (10
|
Comparando os exemplos, observamos diferentes valores para a 1 e q, resultando em valores distintos para a 5. O exemplo 1 apresenta uma P.G. crescente com razão maior que 1, o exemplo 2 também uma P.G. crescente, e o exemplo 3 uma P.G. decrescente com razão entre 0 e 1.
Aplicações da Fórmula do Termo Geral, 3 Exemplo Da Formula Do Termo Geral De Uma P.Q
A fórmula do termo geral de uma P.G. tem diversas aplicações práticas. Um exemplo é o cálculo do crescimento populacional de uma bactéria. Suponha que uma cultura de bactérias inicia com 1000 unidades e dobra a cada hora.
Para calcular o número de bactérias após 5 horas, podemos utilizar a fórmula do termo geral. Neste caso, a 1 = 1000, q = 2 (dobra a cada hora), e n = 6 (incluindo a hora inicial). Portanto, a 6 = 1000
– 2 (6-1) = 1000
– 32 = 32000 bactérias.
Problemas e Soluções com a Fórmula do Termo Geral
Resolver problemas envolvendo progressões geométricas exige o uso estratégico da fórmula do termo geral.
Encontrando o Primeiro Termo (a1)
Problema: Em uma P.G., o 4º termo (a 4) é 162 e a razão (q) é 3. Encontre o primeiro termo (a 1).
Solução: Usando a fórmula a n = a 1
– q (n-1), temos 162 = a 1
– 3 (4-1). Resolvendo para a 1, encontramos a 1 = 162 / 27 = 6.
Encontrando a Razão (q)
Problema: Em uma P.G., o primeiro termo (a 1) é 5 e o 3º termo (a 3) é 20. Encontre a razão (q).
Solução: Temos a 3 = a 1
– q (3-1), ou seja, 20 = 5
– q 2. Resolvendo para q, obtemos q 2 = 4, logo q = ±2.
Encontrando a Posição do Termo (n)
Problema: Em uma P.G. com a 1 = 2 e q = 2, qual termo é igual a 64?
Solução: Temos 64 = 2
– 2 (n-1). Simplificando, 32 = 2 (n-1). Como 32 = 2 5, temos n-1 = 5, portanto n = 6. O 6º termo é igual a 64.
Representação Gráfica de uma P.G.
Uma progressão geométrica pode ser representada graficamente em um plano cartesiano, com o número do termo (n) no eixo x e o valor do termo (a n) no eixo y. Os pontos (n, a n) são plotados e unidos, resultando em uma curva exponencial.
Considerando o exemplo 1 (a 1 = 2, q = 3), os pontos seriam (1, 2), (2, 6), (3, 18), (4, 54), (5, 162), etc. A curva resultante seria uma curva exponencial crescente, pois a razão (q) é maior que 1. Se a razão fosse entre 0 e 1, a curva seria exponencial decrescente. Se a razão fosse negativa, a curva oscilaria acima e abaixo do eixo x.